분야
hwp흐름은 수리논리학의 이론과 배경으로부터 시작해서 논리학이 무엇이고 인공지능과 어떠한 관계를 이루고 있으며 끝으로 인지과학의 논리가 무엇인가를 보이고자 한다.
서론
인지과학의 목표가 마음의 본질과 그 기능을 해명하고 기계적 구현을 통한 검증에 있다고 할 때, 마음의 기계화 (mechanization of mind) 는 인지과학의 가장 중요한 주제의 하나이며 동시에 인지과학이 당면한 연구과제이기도 하다. 마음의 기계화에 관한 연구는 비교적 오랜 역사를 가지고 있다. 이미 유클리드 (Euclide) 의 기하학의 공리학 (Axiomatization), 아리스토텔레스 (Aristoteles) 의 논리의 공리화 시도에서 사고에 대한 기계적 이해로서의 기원을 찾아볼 수 있으며, 라이프니츠 (G. W. Leibniz, 1646~1716) 의 기호를 도구로 하는 계산추론 (calculable reasoning), 그리고 힐버트 (D. Hibert) 의 모든 수학적 증명의 형식화 (formalization) 계획을 거쳐 오늘날의 인지과학에 이르기까지 연구가 진행되고 있다. 특히 형식논리체계의 물리적 구현인 컴퓨터의 출현은 마음의 일정한 부분적 기능이 기계적으로 구현 가능하다는 것을 보여주었다. 그래서 인공지능 (AI : Artificial Intelligence) 분야에서는 인간의 자연적 기능 에 비견할 만한 인공지능 (AI) 의 구현을 목표로 다각적으로 연구중에 있다.
과연 인간은 생각하는 기계인가? 마음의 기계화는 가능한가? 이런 질문과 관련하여, 인간을 의미 기관 (semantic engine), 즉 자동형식체계 (automatic formal systems) 로 볼 수 있다는 견해는 인지과학의 기본적 전제의 하나이다 (J. systems) 로 볼 수 있다는 견해는 인지과학의 기본적 전제의 하나이다 (J. Haugeland, 1981). 19 세기 근대 수리논리학 (mathematical logic) 의 성립에 중요한 공헌자인 부울 (G. Boole, 1815~1864) 은 대수적 형식체계 (algebraic formal systems) 를 통하여 인간의 순수한 생각을 표현해 낼 수 있다고 보았으며 이후에 수리논리학의 성립과정은 바로 마음의 완전한 형식적 표현을 지향하는 발전을 보여주었다. 특히 수리논리학 내에서도 회귀이론 (recursion theory), 즉 계산가능성이론 (computability theory), 비단조논리 (nonmonotonic logic) 등의 발전은 오늘날 컴퓨터 과학의 탄생과 AI 의 발전에 직접적으로 연결되어 있으며, 현대 응용수학의 정보이론 (information theory), 통신이론 (communication theory) 은 인지과학의 정보처리이론 (information processing theory) 성립에 결정적인 영향을 주었다고 평가된다. 이러한 역사적 흐름 속에서 수리논리학적 이론과 배경, 논리학과 인공지능과의 관계를 소개하고 인지과학의 논리에 관하여 고찰해 보고자 한다.
본론
1.인지과학과 수리논리학
1.1) 수리논리학의 발전과 인지과학
인간의 사고를 기호로 충분히 표현하여 다룰 수 있다는 라이프니츠 (Leibniz) 의 주장은 기호논리학 (symbolic logic), 곧 수리논리학의 시초로 평가된다. 이후 부울과 모간은 아리스토텔레서 이래의 고전논리학에서 다루는 내용과 범위를 모두 대수적 기호논리로 처리할 수 있음을 증명하여 라이프니츠의 구상을 더욱 구체화시켜 보여주었다. 프레게 (F. L. G. Frege, 1848~1925) 는 수학의 기반이 될 수 있는 논리체게의 공리적 형식화 (axiomatic formalization) 를 통하여 건설하고자 하였고, 동시대의 페아노 (G. Peano, 1858~1932) 는 실제로 자연수의 산술에 대한 공리체계 (Peano Arithmetic) 를 구성하여 수학 내의 여러 가지 정리들을 논리적으로 증명하여 보였다.
한편 칸토어 (G. Cantor, 1845~1918) 는 무한의 문제를 수학적으로 해결하고자 현대수학의 기원이 되는 집합론을 구성하였는데, 집합론은 수학의 기초에 대한 근본적이고 구조적인 변화를 가져왔다. 그런데 브랄리-포티 (Burali-Forti) 의 패러독스 (1897), 칸토어의 패러독스 (1899), 러셀의 패러독스 (1903) 등 일련의 패러독스들이 발견되면서 집합론에 근거한 수학의 기반이 위협받는 상황이 일어나게 되었다. 이러한 상황에서 20 세기에 들어와 수학 내의 개별적 내용을 다루기보다는 수학 자체의 구조적 건실성 (soundness) 을 확립하기 위한 수학기초론 (Foundations of Mathematics) 이 성립하게 되었으며, 수리논리학을 중심으로 수학의 본질에 관한 연구가 체계적으로 수행되었다.
수학의 본질에 관한 해석에 따라 크게 대별되는 세 가지의 입장이 있었는데, 프레게 (Frege), 러셀 (Russell), 화이트헤드 (Whitehead) 의 논리주의 (Logicism), 브로워 (Brouwer, 1881~1966) 의 직관주의 (Intuitionism), 힐버트 (Hilbert, 1862~1943) 의 형식주의 (Formalism) 로 분류해 볼 수 있다. 프레게는 『개념논저 (Begriffsschrift)』(1879) 를 통하여 순수한 사고의 표현을 위한 형식언어로서의 형식논리학 체계를 구상하였다. 그는 기본적인 논리분석을 통해서 수학 내의 정리와 증명들의 본질적 구조를 밝혀낼 수 있다고 보고 수학을 형식논리체계로 환원시키는 작업의 기초를 제공하였다. 이러한 시도가 타당하다고 본 러셀은 『수학의 원칙 (Principles of Mathematics)』(1903) 에서 프레게의 계획과 페아노의 결과를 결하비켜 산술체계뿐 아니라 수학의 모든 분야들도 논리에 환원될 수 있다고 생가하였다. 그리고 화이트 행드와의 공저 『수학원론 (Principia Mathematical)』(1910~1913) 에서는 명제논리체계 (Propositional Logic System) 내에서 세분화 유형론 (ramified type theory) 을 사용하여 논리로부터 수학이 연역가능함으로 보이고자 하였다.
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