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논문 > 인문계열

[수학과 졸업논문] 고유값과 고유벡터와 그 응용에 관한 고찰

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논문 > 인문계열
2010.08.14
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소개글

[수학과 졸업논문] 고유값과 고유벡터와 그 응용에 관한 고찰에 대한 자료입니다.

1. 들어가는 말
1-1. 고유값과 고유벡터의 어원.
1-2. Characteristic polynomial의 발견.
1-3. Eigenvalue 와 Eigenvector의 다른학문으로의 응용.

2. Eigenvalue 와 Eigenvector 란 무엇인가?
2-1. Eigenvalue and Eigenvector.
2-2. Eigenvalue 와 Eigenvector 구하기
2-3. Eigenvalue 와 Eigenvector 의 성질.
2-4. Eigenspace.
2-5. Characteristic polynomial
2-6. Diagonalizable
2-7. Geometric multiplicity
2-8. Dominant eigenvalue
2-9. Positive definite
2-10. Singular value decomposition

3. Eigenvalue 를 해석하는 법.
3-1. 고유치 해석의 일반적인 방법
3-2. 고유치 해석 및 고려 사항
3-3. Lanczos.
3-4. Lanczos 해법에서의 고유치 해의 문제점, 개선 기법
3-5. Lanczos 방법의 특징

4. Eigenvalue 와 Eigenvector의 응용.
4-1. Dynamical Systems and Spotted Owls
4-2. 얼굴인식(Facial Recognition)
4-3. 계층분석과정(Analytic-Hierarchy-Process)

5. 참고문헌.

본문내용

1-2. Characteristic polynomial의 발견.

eigenvalue를 구하는 방정식인 characteristic polynomial은 Cayley가 발견하였다. Cayley는 또한 ``2차 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다''는 것을 증명했다. 그는 자신 이 3차 정사각행렬에 관한 연구결과도 확인했다고 주장했다. ``임의의 행렬이 자신의 특성방정식 을 만족한다''는 정리를 일컬어 ``Cayley-Hamilton 정리''라고 하는 이유는 실제로 Hamilton이 4 원수(Quoternion) 연구를 하던 중 ``4차 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다''는케일리
것을 증명했기 때문이다.

1-3. Eigenvalue 와 Eigenvector의 다른학문으로의 응용.

eigenvalue연구의 발전은 선형대수학이 발전과 함께 했다고 볼 수 있다. 발견 이후 현상의 수학적인 해석 그 중에서도 연립방정식이 이용되는 곳에는 행렬의 개념이 도입되기 마련이고, eigenvector과 eigenvalue가 이용되기 때문이다. 그렇다면 다른 학문에서 eigenvalue가 어떠한 의미를 지니고 이용되는지 알아보도록 하자.

1-3-1) 물리학

물리적으로 볼 때, 어떤 값을 측정한다는 것은 측정대상의 현재 상태에 연산자를 작용시켜서 그 eigenvalue를 구하는 것이다. 예를 들어서 어떤 물체의 운동량을 측정한다면, 이것은 수학적으로 볼 때 그 물체의 state를 나타내는 함수(벡터로 이해하시면 됩니다)에 운동량 연산자(행렬로 이해하시면 됩니다)를 적용시키는 것이다. 이 때 물체의 state가 연산자의 eigenstate(eigenvector)였다면, 그 때의 eigenvalue가 그 물체의 운동량으로 측정이 된다. 즉, 우리가 알고 있는 값은 모두 eigenvalue인 것이다.

참고문헌

[1] J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Press Inc.,1965
[2] K. J. bathe, E. L. Wilson "Large Eigenvalue Problems in Dynamic Analysis", A.S.C.E., J. of Engineering Mechanics Division, Vol. 98, 1972, pp 1471-1485
[3] Parlette, B. N., The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice-Hall, 1980
[4] Simon, H. D., "The Lanczos Algorithm with Partial Reorthogonalization", Mathematics of Computation, Vol. 42, pp 115-142, 1984
[5] Grimes, R. G., J. G. Lewis and H. D. Simon, "A Shifted Block Lanczos Algorithm for Solving Sparse Symmetric Generalized Eigenproblems", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 15, pp 228-272, 1994
[6] b. N. Parlette and D. Scott, "The Lanczos algorithm with selective orthogonalization", Mathematics of Computation, Vol. 33, pp 217-238, 1979
[7] Steven J. Leon, Linear Algebra with application, Macmillan Publishing company, 1990
[8] David C. Lay, Linear Algebra and Its application, Pearson Education. Inc, 2003
[9] Lay, "Linear Algebra", Addison Weseley
[10] Stephen H. Friedberg, Arnold J.Insel, LaWrence E. Spence, "Linear AlGEBRA", Prentice Hall
[11] 이상문, 신경영과학
[12] 이성근, AHP기법을 이용한 마카텡 의사결정
[13]http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20101.html
[14]http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EA%B0%92
[15]http://en.wikipedia.org/wiki/Positive_definite
[16]http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/modern/q_mechanics/schrondinger/schrondinger.html
[17]www.mathematik.ch/mathematiker/Cauchy.jpg
[18]goodking.new21.net/bbs/rgboard/data/00007/48$
[19]http://image.search.naver.com/search.naver?where=image&sm=tab_jum&query=%uD790%uBCA0%uB974%uD2B8

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