파스칼의 삼각형
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hwp`파스칼의 삼각형은 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것을 말한다. 1303년 중국인에 의해 유럽에 알려졌으나, 프랑스의 철학자이자 수학자인 파스칼이 여기서 흥미로운 성질을 많이 발견하였기 때문에 파스칼의 삼각형이라 부르게 됐다.
만드는 방법은 각 행의 처음에는 1을 쓰고, 그 다음 행은 위의 두 수를 합한 결과를, 그리고 끝에는 다시 1을 쓰면 된다. 이 과정을 계속 반복하면 다음 그림과 같은 파스칼의 삼각형을 얻을 수 있다.
대각선 (1)의 방향에는 1, 2, 3, 4 등 자연수가 쓰여져 있음을 금방 알 수 있다. 또 대각선 (2)의 방향에는 1, 3, 6, 10 등이 있는데 아래 그림과 같이 점을 찍으면 정삼각형 모양을 만들 수 있기 때문에 삼각수라고 불린다. 마찬가지로 대각선 (3)의 방향에는 점을 정사면체 모양으로 배열할 수 있기 때문에 사면체수라 한다.
다른 의미는 없을까? 먼저 3행의 숫자 1, 3, 3, 1이 나타내는 의미를 생각해보자. 이는 3개의 물건이 있을 때, 이 물건들을 각각 0개, 1개, 2개, 3개 선택할 수 있는 가지 수를 의미한다. 모든 행의 숫자는 이와 같은 의미를 가진다. 따라서, 4명의 후보 가운데 2명의 대표를 뽑는 경우가 얼마나 되는지 알아보려면 4번째 행에서 3번째에 오는 수가 얼마인지 보면 된다. 모두 6가지가 된다.
질문) 월드컵 본선에서 무작위로 조를 정한다고 가정하면, 우리 나라를 제외한 31개 나라중 우리와 같은 조가 되는 나머지 세 나라의 종류는 모두 몇 가지나 될까?
답) 31번째 행까지 파스칼의 삼각형을 만들고 그 행의 숫자 중 4번째에 오는 수를 보면 간단히 알 수 있다. 직접 해보라. 답은 4495다.
파스칼의 삼각형 성질
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
