분야
hwp1. Abstract
2. Fibonacci Sequence in Natural Numbers
2. 1. The History of Fibonacci Sequence
2. 2. The Significance of Fibonacci Sequence
2. 3. The Identities of Fibonacci Sequence
2. 4. The Extension of Fibonacci Sequence
3. Fibonacci Sequence in Complex Numbers
3. 1. Gaussian Fibonacci Number
3. 2. Identities of Gaussian Fibonacci Number
3. 3. Complex Fibonacci Number
3. 4. Identities of Complex Fibonacci Number
4. Discussion
5. References
이미 알려져 있는 확장된 복소수체에서의 피보나치 수열은 크게 두 가지가 있다. 하나는 가우시안 피보나치 수(Gaussian Fibonacci Number)이고 다른 하나는 콤플렉스 피보나치 수(Complex Fibonacci Number)이다. 가우시안 피보나치 수는 콤플렉스 피보나치 수의 특수한 경우로 콤플렉스 피보나치 수는 복소수체에서 정의된 피보나치 수열 중 가장 일반적인 형태라고 할 수 있겠다. 피보나치 수열에 관심을 보인 몇몇 20세기 수학자들은 복소수체로 피보나치 수열을 확장하려고 할 때, 자연수와는 다른 복소수의 특성에 섣불리 피보나치 수열을 확장하지 못했다. 그래서 복소수의 특성이 잘 드러나도록 연구 끝에 이와 같은 수열들을 새롭게 정의하게 된 것이다.
3. 1. Gaussian Fibonacci Number
가우시안 피보나치 수열(Gaussian Fibonacci Sequence)은 자연수에서의 피보나치 수열을 복소평면위에 나타내기 위해 1941년 Rufus P. Issac이 고안해 낸 것이다. Gaussian Fibonacci 수열의 항은 정수인 과 음이 아닌 정수인 에 대하여 으로 나타내어지고 다음의 식으로 정의된다.
위 식으로부터 보다 간단한 수열식이 나오는데 그것은 다음과 같다. (증명은 3.2에 수록하였다.)
이 식으로부터 가우시안 피보나치 수열은 행에서만 피보나치 수열의 규칙성이 성립하는 것을 알 수 있다(그림 5 참조). 또한 각각의 고정된 음이 아닌 정수 에 대하여 가우시안
http://ko.wikipedia.org/wiki/피보나치 수열
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
C. J. Harman, Complex Fibonacci Numbers, Fibonacci quarterly, 1981
David M. Burton, Elementary Number Theory(6th), Mc Graw Hill 2007
George Berzsenyi, Gaussian Fibonacci Numbers, Fibonacci quarterly, 1977
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