[행정] [행정] 관리과학 - 대기행렬

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레포트 > 사회계열
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소개글

[행정] [행정] 관리과학 - 대기행렬에 대한 자료입니다.

Ⅰ. 대기행렬의 의의

Ⅱ. 대기행혈의 특징
대기행렬을 분석하기 위해서는 몇 가지 특성을 살피고 예측하는 것이 필요하다. 대기행렬의 특성에는 시스템내의 고객의 수(확률), 각 고객의 대기시간, 대기행렬속의 대기자 수, 서비스 시간의 유휴시간(확률) 등이 있다. 이러한 특성을 예측하기 위해서는 몇가지 가정이 필요하다. 즉, 도착자의 분포형태, 서비스시간의 분포형태 등에 대한 가정이 필요하다.

1) 도착자의 분포형태
대기행렬모형에서는 도착자의 수는 확률변수를 나타낸다. 따라서 단위시간당 도착자의 수는 여러 가지 형태의 확률분포를 이룬다. 대기행렬모형에서 가장 많이 쓰이는 확률분포는 포아송분포이다. 다시 말해서 특정시간동안 도착하는 도착자의 수가 포아송분포를 이룬다고 가정한다. 여기서 포아송분포에 대해 간단히 살펴본다.
포하송분포는 프랑스의 수학자 포아송(Poisson)에 의해 발견된 이산확률분포로사 다음과 같은 조건에서 성립한다.
1. 특정시간은 아주 작은 단위구간으로 나누어질 수 있으며, 이 단위구간에서 어떤 사건이 발생할 가능성은 매우 적다.
2. 일정한 단위구간에서 어떤 사건이 발생할 횟수와 다른 단위구간에서 그 사건이 발생할 횟수는 서로 독립적이다.
3. 어떤 단위구간에서 어떤 사건이 2회 이상 발생할 확률은 거의 없어서 0으로 간주할 수 있다.
4. 특정 시간내의 일정시간동안 발생하는 사건수의 확률분포는 다른 시간에서의 확률분포와 동일하다.
이러한 조건을 만족시키는 사건들의 분포는 포아송분포를 이룬다. 에를 들어 대학은행에 오후 2시부터 3시 사이에 오는 고객수의 분포를 생각해 보자. 우선 1시간을 아주 작은 단위구간으로 나눈다. 이를테면 단위구간을 1초로 하였다고 가정해 보자. 1초의 시간동안 도착하는 고객수는 매우 작을 것이다. 만일 1초동안 상당히 많은 고객이 도착할 확률이 높다면 단위시간을 더 쪼개야 한다. 0.1초 또는 0.01초 등으로 단위시간을 정해야 한다.
보통의 은행이라면 1초동안 도착하는 고객의 수가 두명 이상일 확률은 거의 없는 것이 현실이다. 또 어느 단위구간에 고객이 도착할 확률은 다른 단위구간에 고객이 도착할 확률과 독립적인 것이다. 즉 아무런 관계가 없다는 것이다. 마지막으로 특정한 시간, 이를 테면 2시 20분부터 2시 30분 사이의 10분동안 도착할 고객수의 분포형태와 2시 30분부터 2시 40분 사이의 10분동안에 도착할 고객수의 형태가 같다고 가정하자.

본문내용

이것은 위에서 제시한 조건을 모두 만족하는 것이다. 이러한 조건이라면 도착하는 고객의 수는 포아송분포를 이룬다. 포아송분포는 경험을 통하여 수립되었으며, 통게적으로도 증명이 된 셈이다. 일반적으로 포아송분포를 이루는 어떤 사건이 n번 발생할 확률은 다음과 같은 확ㄹ류함수를 통해 계산될 수 있다. 여기에서 어떤 사건이란 대기행렬시스템에 도착하는 시간, 즉 도착자의 수를 가리킨다.
e-λλn
P(n) = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 ( n = 0, 1, 2, 3, ······ )
n!
단, n : 사건발생횟수(도착자수)
λ : 평균발생횟수(평균도착률)
e : 2.71828(자연로그의 밑)

간단한 예를 들어보기로 하자. 앞의 대학은행의 예에서 오후 2시부터 오후 3시 사이에 평균 120명의 고객이 도착한다고 하자. 그러면 1분간 평균 2명이 도착한다고 볼 수 있다. 이것이 바로 평균도착률이다. 따라서 1분을 단위시간으로 정한다면 λ = 2(명/분)이다. 이때 같은 시간대의 어떤 1분 동안에 세명의 고객이 도착할 확률은 얼마가 되겠는가?
위의 확률함수에서 다음과 같이 그 확률을 구할 수 있는 것이다.
e-λλn e-2 (2)3 e-2 (8)
P(n) = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏
n! 3! 3 x 2 x 1

e-2 (8) 4 4
= 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 0.1804
6 3 e2 3 x (2.71828)2

마찬가지 방법으로 같은 시간대의 어떤 1분 동안에 네명의 고객이 도착할 확률도 다음과 같이 구할 수 있다.
e-λλn e-2 (2)4 e-2 (16)
P(n) = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏
n! 4! 4 x 3 x 2 x 1

e-2 (16) 2 2
= 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏󰠏 = 0.0902
24 3 e2 3 x (2.71828)2

이러한 방법으로 평균발생횟수(평균도착률) λ와 사건발생횟수(도착자수) n을 위의 공식에 각각 대입하여 그 확률값을 미리 계산하여 만든 표를 포아송분포라 한다.
우리는 직접 계산하지 않고도 포아송분포표에서 해당 칸을 읽어 확률값을 알아낼 수가 있는 것이다.
여기서 지방의 어느 면에서 0시(자정)에서 오전 4시까지 사이에 발생하는 범죄발생건수는 0.5건이라 한다. 범죄발생건수가 포아송분포를 따른다면 내일 같은 시간대에 범죄발생이 전혀 없을 확률은 얼마인가를 알아보면 뒷면의 포아송분포표의 일부에서 보여주는 것과 같이 λ = 0.5와 n = 0이 마주치는 칸을 읽으면 P(0) = 0.6065임을 알아낼 수 있다.

#행정 # 대기 # 행렬 # 관리 # 과학

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