고등학생 독후감 페르마의 마지막 정리
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hwpx ^{n} +y ^{n} =z ^{n}에서 n이 3 이상의 정수인 경우 이 관계를 만족시키는 자연수 x, y, z는 존재하지 않는다. 이것이 페르마의 대정리 혹은 페르마의 마지막 정리라고 불리는 유명한 명제이다.
앤드류 와일즈는 불과 10살에 집 근처 도서관에서 이 문제를 발견했다. 그리고 그는 이 문제에 대한 증명을 알아보기 위해 다음 페이지로 넘겼지만 증명은 어느 곳에도 나타나지 않았다. 페르마의 증명이 대충 어떤 내용이었는지를 짐작할 수 있는 힌트도, 실마리도 없었다. 앤드류 와일즈는 문득 사기당한 것 같은 기분에 빠짐과 동시에 페르마의 마지막 정리에 강한 호기심을 느꼈다. 꿈 많고 순진했던 앤드류 와일즈는 300년 동안 탄생했던 수학자들이 모두 실패했던 그 일을 왠지 자신이 해낼 수 있을 것만 같았다. 오히려 이런 순진한 생각 덕분에 세계 최고의 수학자들이 설마하며 넘어갔던 부분들을 잡아낼 수 있었던 것인지도 모르겠다.
페르마의 마지막 정리가 아예 진전이 없다가 300년 후에 갑자기 풀려버린 것은 아니다. n이 2일 경우에는 피타고라스의 정리인 x^{2}+ y^{2}= z^{2}이 되어 이 식을 만족시키는 자연수 x, y와 그에 따른 z는 무수히 많이 존재하게 되지만 이는 목적상 뚜렷한 차이가 있다. n＝4인 경우는 페르마 자신이 증명을 써서 남겼으나, 그 후 300년 간 많은 수학자가 연구했음에도 불구하고 일반적인 증명은 여전히 명확하지 못했다. 그러나 이들의 연구에 의해서 중요한 이론이 파생하여 전개되어 정수론에 큰 진보를 가져오게 하였다. 그런 의미에서 극히 중요한 정리라고도 할 수가 있다. 더욱이 1908년 독일의 볼프스켈이 “2007년까지 이 정리를 증명하는 사람에게는 100000마르크의 상금을 주라”는 유언을 남겨 이 문제는 더욱 유명해졌다. 그 후 수학자들은 컴퓨터를 이용하여 x, y, z가 15만 자리일 때까지 증명하는데 성공했으나 모든 실수에 해당하는 일반적인 해법은 역시 알아내지 못했다.
그러던 중 1984년, 게른하르트 프레이는 어떻게 보면 페르마의 마지막 정리와 전혀 상관이 없는 타니야마-시무라의 추론이라는 것을 증명하기만 한다면 자동적으로 페르마의 마지막 정리도 덩달아 증명된다는 것을 밝혀냈다. 타니야마-시무라의 추론이란 이를테면 수학 역사상 최초로 만들어진 ‘수학의 다리’였다. 그것은 타원 방정식이라는 분야와 모듈 형태라는 언뜻 보기에 관련성이 없어 보이는 것을 연결한 놀라운 잠재력을 가진 이론이었다. 그리고 사람들은 페르마의 마지막 정리를 증명하는 수단으로 귀류법이라는 증명법을 채택하게 되었다. 타니야마-시무라의 추론이 참이면 페르마의 마지막 정리 역시 반론의 여지 없이 증명된다는 것이다. 처음에 이 사실이 알려졌을 때에는 너도나도 의욕적으로 나섰다. 갈 길이 명확했기 때문이다. 그러나 시간이 지나면서 이 이론이 증명 불가능하다며 회의론이 일어나기 시작했고, 사람들은 다시 무기력해져갔다. 그러나 이 상황에서도 혼자 포기하지 않고 고독한 싸움을 계속해나간 사람이 바로 앤드류 와일즈였던 것이다. 그는 집중력을 잃지 않고 무려 7년 간이나 집에 틀어박혀 페르마의 마지막 정리를 푸는 데에만 골몰했다. 수학자들 사이의 교류가 중요시되는 수학 연구에서 이렇게 혼자 외롭게 연구한다는 것 자체가 매우 희귀한 일일뿐더러 그 대상이 역사상 최고의 난제였다는 것에서 그의 대단함을 알 수 있다. 그리고 그의 고통스러운 7년이 지난 1993년에, 앤드류 와일즈는 케임브리지 대학에서 드디어 페르마의 마지막 정리를 증명해냈다는 발표를 하게 된다.
앤드류 와일즈는 30년, 즉 그의 인생의 절반 이상을 문제 하나에 투자했다. 그리고 그는 역사를 이루어낸 것이다. 그리고 그의 이런 모습을 보며 한편으로 나의 평소 모습에 대해 다시 한 번 생각해보게 되었다. 30년은커녕 약간 까다로운 수학 문제가 나왔으면 3분 이상 생각해볼 때가 몇 번이나 됐을까? 어릴 때는 지기 싫어서 어떻게든 붙잡고 있으려고 했지만 나이를 먹으면 먹을수록 한 문제를 잡고 집중력을 발휘하는 시간이 점점 줄어드는 것 같아 너무 힘들다. 걸핏하면 답지를 보는 습관이 잘못된 것인 줄을 알면서도 계속 보게 되는 것이 진짜 문제인 것 같다. 언제가 되든 또다시 까다로운 수학 문제들을 만난다면, 아니면 삶을 살아가는 도중에 까다로운 문제를 만나더라도 앤드류 와일즈를 다시 생각하며 그의 집중력을 본받아 문제에 도전해야하지 않을까 싶다.
