분야
hwp― 수학교육에서 개념적 이해의 중요성 ―
교수님의 첫 강의 시간에 이 책 ‘초등학교 수학 이렇게 가르쳐라’를 읽고 독후감을 써 내라는 말에 문학책도 아니고 수학교수법에 관한 책가지고 무슨 독후감을 쓰라는 거지? 라는 생각을 했다. 그러나 이 책의 마지막 페이지까지 읽고 다시 책을 덮어 앞표지의 제목을 봤을 때 내가 얼마나 초등학교 수학에 대한 인식이 잘못 되어 있었나를 깨달을 수 있었고 앞으로 초등교사의 길을 갈 나로써 그리고 현장에 나가 수학을 가르칠 교사로써 꼭 읽어봐야 할 필독도서라는 생각을 가지게 되었다.
이 책의 머리말에는 충격적인 사실을 담고 있었다. 미국 초등학교 교사가 1과 4분의3 나누기 2분의 1의 의미를 제대로 아는 교사가 없다는 것이었다. 이러한 흥미로운 사실은 이후 나를 이 책에서 눈을 쉽게 뗄 수 없게 만들었다. 그리고 머리말 뒷부분은 이해를 돕기 위해 앞으로 어떤 방식으로 글을 전개 해 나아갈 것인지 설명해 주고 있다. 그 내용인 즉, 조사 대상 교사들에 대한 간략한 설명과 함께 면담내용인 수학주제에 대해 간략히 설명 해 놓았다. 그리고 어떤 순서로 글을 기재 할 것인지를 설명해 놓아 책을 읽는데 더 쉬운 것 같았다.
첫 번째 주제는 받아내림이 필요한 뺄셈이었다. 53-25 이러한 계산을 우리는 아무 생각 없이 어렵지 않게 하게 된다. 그러나 그 답을 유추해내는 과정을 설명해 보라고 했을 때 일부 미국교사들의 대답이란 내가 봐도 교사라고 하기에는 너무나 부족한 설명이었다. 그리고 중국인 교사의 ‘떨기’ 개념을 들었을 때 이런 건 당연한거 아닌가? 이런 말을 내 뱉었지만 다시한번 양심적으로 생각해보니 내가 그 내용을 읽으므로써 이해한 것 이지 실제 내가 중국인 교사의 설명을 듣지 않고 질문을 받았더라면 나 또한 미국인 교사와 비슷한 설명을 했을 것 같다는 부끄러운 생각을 했다. 나는 어린 시절 초등학교에서 받아내림 뺄셈을 배울 때 빌려오기라는 단어를 사용하여 공부했다. 그냥 십의 자리에서 1을 빌려온다. 그러니까 십의자리의 수에 빗금을 치고 일의 자리에 10을 더해서 빼준다 그런데 왜 10의자리에서 1을 빌려와야 하는건지 배운 것은 기억이 나지 않는다. 그래서 나도 이러한 계산은 그냥 빌려와서 계산한다 정도로만 알고 있었다. 저자와 중국인교수와의 인터뷰 내용 중 중국인 교사가 자기 학생 중 집에서 부모님에게 빌려오기 개념을 이용한 뺄셈을 배워서 오는 학생도 있는데 자기는 다시 그것을 ‘떨기’개념으로 바꾸어서 설명 한다고 이야기한 것을 들었을 때 "내가 사촌동생들에게 그렇게 가르쳐왔는데”라는 생각을 하였다. 마치 미국인 교사가 하는 잘못된 교육을 내가 아이들에게 가르치고 있는 것이다. 7차 교육과정에서는 뺄셈이나 덧셈을 여러 가지 방법으로 계산하는 문제가 2학년부터 등장한다. 예를 들면 35-7=35-(2+5)=30-7=23 이런 식으로 계산과정을 주고 빈칸을 채워 넣는 유형이다. 이런 유형의 문제를 내가 가르치는 아이들은 제일 어려워한다. 이 단원을 곰곰이 읽고 생각해보니 아마도 나와 마찬가지로 그 아이들이 다니는 초등학교 교사들도 리그루핑이 필요한 덧셈 뺄셈에서 절차적 이해만을 강요하여 아이들을 가르쳤기 때문이 아닌가 하는 생각이 든다. 미국인 교사는 절차적 이해에만 초점을 두어 뺄셈에서 일어나는 수의 변화의 의미를 정확히 이해하지 못하고 빌려오기라는 추상적인 개념만을 들어 아이들에게 문제의 답을 내도록 강요하고 있다. 이러한 절차적 이해는 단편적인 계산만을 할뿐 다른 수학주제와는 전혀 연결을 짓지 못하는 것이다. 그러나 중국인 교사의 들의 ‘떨기’개념을 이용한 뺄셈 계산법은 진율이라는 수의 기본법칙을 바탕으로 뺄셈에서 리그루핑을 확실히 보여 주는 것이고 그 의미를 파악하기 더 쉬운 것 같다. 인상적이었던 것은 핵심지식에 대한 언급이었다. 수의 뺄셈에서 가장 핵심적인 개념은 20이내의 뺄셈에 모두 담겨있다는 것이다. 우리는 20이내의 뺄셈은 쉽게 하면서도 자리수가 늘어나면 계산을 어려워하던 초등학교 시절을 기억할 것이다. 그러나 그때 우리가 20이내의 뺄셈을 절차적 차원이 아닌 개념적 차원에서 제대로 배웠더라면 더 높은 수준의 뺄셈문조도 쉽게 풀지 않았을까하는 생각을 해 봤다.
여러 자릿수의 곱셈에서도 마찬가지로 미국교사의 절차적 이해의 한계점을 여실히 보여준다. 미국교사들은 세 자리수 곱셈을 할 때 왜 십의자리 계산한 것을 한 칸 미뤄 쓰는지 모르는 체 아이들을 지도하고 있었다. 교사의 지식이 한계가 있으니 그 가르침을 받는 아이들은 더 이상 발전할 수 없을 것이다. 반면 중국교사들은 자릿값의 개념을 설명하면서 왜 미뤄 써야 하는지를 설명한다. 바로 개념적 이해의 차원에서 아이들을 가르치는 것이다. 이러한 것은 3자리 곱셈을 세로로 할 때 빈칸에 0을 채워 넣는 것이 옳은가 안 넣는 것이 옳은가 하는 질문으로 인식의 차이를 알게 해 주었다. 빈칸을 단순히 별표모양으로 채워 넣어 그곳에 숫자를 못쓰게 하는 습관을 기르게 하겠다는 미국 교사의 말에서 절차적 이해를 중요시한다는 것을 알 수 있었다 왜 쓰면 안되는지에 대해서는 잘 알지 못하고 그저 그렇게 해왔기 때문에 이런식으로 교육시킨다는 교사의 말이 설득력이 없어 보였다. 반면 중국 교사들은 빈칸에 영의 의미를 그다지 중요하게 생각하지 않았다. 십의 자리 계산에서 나온 수는 457십을 나타내므로 실제로는 4570이다 따라서 0을 넣고 안넣고는 별로 중요하지 않다는 말이 된다. 이런 교수방법이 왜 우리가 숫자를 한칸 미뤄써야 하는지 아이들이 이해 할 수 있게 하는 개념적 이해방법인 것이다. 이 여러 자리 곱셈에서도 중국 교사들은 핵심지식이 있다고 이야기 한다. 바로 두 자리 수의 곱셈과 자릿값의 개념이 그것이다. 이것들만 확실하게 의미를 파악하여 이해해 놓으면 다른 것들은 교사가 가르치지 않고 조금만 더 생각하면 더 높은 수준의 곱셈문제도 풀 수 있다는 것이다. 그리고 곱셈뿐만 아니라 다른 개념들도 연계하여 도움을 줄 수 있다는 것이다. 미국 교사들과 중국 교사들의 차이점은 여기서도 나타나는데 미국교사들은 논의하고 있는 주제를 다른 분야와 연결시키려는 의도를 전혀 보이지 않은 반면 매번 중국교사들은 다른 것들과 연계시키려는 의도를 보였다는 것이다. 초등학교에서 배우는 기초 수학지식들은 모든 수학분야의 밑바탕이 됨을 중국교사가 이해하고 있다는 것을 보여주는 대목이 아닌가 생각 된다.
이 책을 읽는 사람 모두가 느끼는 것이겠지만 3단원 분수의 나눗셈에서 모두 놀랐을 것이다. 초등학교 교사가 간단한 분수 나눗셈 계산을 하지 못한다니 이런 어처구니없는 일이 발생하게 된 원인이 무엇일까 글을 읽으면서 찾았는데 결국은 이 주제 또한 절차적 이해에만 중심을 둔 미국의 교육 때문이었다. 그러한 교육환경에서 자라난 학생들이 교사가 되는 것이다. 더군다나 초등학교 기초 수학을 그저 아무나 가르칠 수 있다는 인식을 가진 나라여서 더욱더 심하지 않았나 생각한다. 절차적 이해만 중요시하면 앞의 덧셈이나 뺄셈 같은 기초적인 계산은 답을 낼 수 있을지 모르나 점점 더 고등한 수학 주제로 갈수록 절차적인 이해마저 무너지게 되는 경우가 생기는 것이다. 이러한 현상이 분수의 나눗셈에서 보여 진다. 어떤 수에 나누기 2분의 1을 하는 것을 미국 교사들이 만든 문장제의 의미 대부분은 나누기 2를 한다는 의미로 만들어졌다. 이러한 짧은 수학적 지식을 가지고 미국 교육에서는 교구나 다른 교수법적 지식으로 교육을 하려 한다. 우리가 겉으로 보기에 많은 학습 자료를 이용하고 새로운 교수법적 지식으로 아이들을 가르치는 것이 아주 세련되고 합리적으로 보일 진 모르겠지만 실상 들여다보면 불충분한 교과지식으로 인해 오히려 칠판에 글씨를 적으면서하는 교육보다 더 못한 교육이 될 수 있다는 생각을 했다. 평소 모의수업같은 것을 준비하다보면 우리가 가르치는 것의 내용에 중심을 두 지 않고 교구 만드는데 시간을 많이 투자하거나 지도안의 형식에 신경을 쓰고 새로운 지도 방법을 생각하는데 노력하다보면 막상 가장 필요한 그 교과에 대한 이해가 부족하게 되는 경우가 생기곤 했다. 바로 이러한 경우가 미국의 교육의 상황이 아닐까 생각 했다. 그리고 이 단원의 핵심지식은 나눗셈이라고 생각 하였지만 실제 핵심지식은 분수 곱셈이었다. 이 분수곱셈을 제대로 공부하는 것이 분수 나눗셈에서는 핵심 지식이 되는 것이다. 이처럼 중국 교사들의 교육 방법은 예전에 배운 것들과의 연계를 통한 차근차근 쌓아나가는 교육 방식이다. 이것을 확실히 이해하여야만 저것을 배우는데 어려움이 없는 것이다. 저자는 이러한 의미를 개념의 매듭이라는 표현을 사용했다. 이러한 개념의 매듭이 없이는 더 발전하여 그 수식을 문장제로 고치는 것도 어려움이 있는 것이다. 미국교사들은 학생들 바로 옆에서 일어나는 실생활 문장제를 만들려고 노력했다. 하지만 교과지식의 불충분으로 올바른 문장제를 만들어 내지 못하였다. 실생활 하면 세련되고 앞서서 나간 교육처럼 보이지만 실제로는 껍데기뿐인 교육인 것이다.
마지막 면담 주제인 둘레와 넓이의 관계에서는 아주 흥미로운 질문을 던졌다. 아이가 잘못된 이론을 가지고와서 선생님에게 묻는 것이다. 초등학교에서 아주 있을법한 일은 아니지만 요즘 아이들이 워낙 영특하여 이런 질문도 받아볼 수 있을 것 같다. 언뜻 보기에는 맞는 이론 갖지만 둘레와 넓이는 직접적인 관계가 없음을 안다면 잘못되었다고 이야기 할 것이다. 이 주제에 대해서는 미국 교사나 중국교사 둘다 비슷한 비율로 제대로 된 답을 내었지만 이번 장에서는 학생들의 질문에 대한 교사들의 반응이 엇갈렸다. 미국교사의 대부분은 주장을 그냥 수용하거나 확신이 없고 탐구를 기피한 반면 중국 교사들은 그 이론에 대해 탐구하려는 의지를 보인 것이다. 이 탐구하는 의지는 바로 수학에 대한 태도와 관련된다. 미국 교사들은 수학을 기본적인 계산 이며 누구나 알고 있는 것이라고 여기므로 그 중요성을 망각하고 있다. 그러므로 자신이 가르치는 수학에 대한 열정이 그다지 많지 않을 것이다. 따라서 학생들이 들고 온 다양한 질문에 대해서 더 탐구해보려는 태도가 결여되어 있을 것이다. 반면 중국 교사들은 초등수학에 대한 중요성을 알고 있는 듯 하다. 자신이 수학자는 아니지만 수학자다운 태도로서 아이들을
